不貞行為トラブルの話し合い後の通院費用について。

示談交渉の過程で相手方からいろいろ暴言を受けた。それによって精神的苦痛を受けた。慰謝料や通院費請求が可能かというご質問ですね。

このケースの場合、ご質問者は、不倫については「加害者」であり暴言については「被害者」だということ、逆に、不倫相手の奥さんは不倫の「被害者」であり暴言の「加害者」だという関係にあります。

まず不倫･不貞行為の問題ではご質問者は「加害者」、相手の奥さんは「被害者」という関係となります。
不貞行為がバレたということなので、ご質問者と相手の男性とでその奥さんに対して共同で不法行為、違法な行為を行ったことになります。
この不法行為についての話し合いが行われ、その結果が示談書に書かれたわけですが、そこには　不倫･不貞行為の事実やそれが違法であること、それによる責任として一定の賠償金を支払うこと等が書かれていたのではないかと思います。
また、「債権債務なし」と書かれているようですので、不倫･不貞を理由とする加害者としての責任は、これ以上問われることはありません。

次に、ご質問者が「被害者」として、相手の奥さんに「加害者」としての責任を追及ができるかです。
示談書は、不倫･不貞に関するものなので、仮に「債権債務なし」と書かれていても、示談の過程で言われた相手方からのいろいろな言動には及びません。
問題は、相手方の言動が不法行為と言えるかです。
不法行為とされるためには、違法な行為があること、その違法行為によって損害が生まれていること、因果関係が必要です。
具体的には、「仕事をやめろ」、「裁判になれば職場にバレる」、「このまま仕事する気なのか」などの言辞が違法と評価されるかです。
一般的には、暴言の類いとして違法とされる可能性はありますが、不倫相手とご質問者の関係が同じ職場を通じて起きているような場合に、被害者である相手の奥さんが上記のような言葉を口走ることが、当然に違法となるかというと、そうはならない可能性もあります。
次に相手の奥さんの上記言動が違法だと評価されたとしても、そのように言われれば、夜に眠れず、ご飯も食べられない、体調の悪化、うつ病ということが、普通一般に起きるものかが問題となります。因果関係があるかどうかです。
この相手の奥さんの言動と病気（損害）との間に因果関係が認められれば、通院費や慰謝料は認められるでしょう。