窃盗、住居侵入での被害による被害弁償金を支払ってもらいたい。

おそらく相手の方に就いた国選弁護人との間で、示談を行ったのが約５年前ということになろうかと思います。
現在の民法では、時効が５年ですが、当時は法律が変わる前で、１０年の時効になるかと思われますから、まずは時効による問題は考えずに済むと思います。ただし、いまからさらに時間が経過すれば、当然時効の問題が生じます。

さて、以前支払いがなかったときに断念したのは、その時点における相手方の経済状況を踏まえてのことだということで、やむをえない判断だったのではないかと思います。
また、現在、数年経っていて状況が改善され、支払能力が回復しているのではないかということで、再度支払いを求めたいとお考えになったということですね。
ここで、３つの点をアドバイスしたいと思います。
①支払能力が回復しているかの情報を現在ご自身が保有していない場合、結局弁護士に頼むときに、費用倒れのリスクが相当程度ある。
②今回の被害の犯罪を見る限り相手方は大変な悪い人ですから、ご自身が被害に遭われたあと、同じようなことを繰り返して実刑になったり、よりタチの悪い状況にある可能性がある（そんな人間と関わること自体がリスクになりかねない）。
③示談金の額にもよりますが、上記①と②のリスクを負う価値がある場合というのは、かなり限られると言わざるを得ない。
以上３点を踏まえて、債権回収を成功報酬のみで行ってくれる弁護士等を探してみるのはひとつの手かもしれません。