相続放棄の為の準備。

元配偶者とありますが，離婚しているのであれば，ご相談者は法的には全くの他人ということになり，相続権はありません。相続権がなければ放棄ということもありえません。
法定相続人（子，尊属，兄弟姉妹）がいらっしゃるならば，その方に主体的に動いてもらい，ご相談者はそのお手伝い的な立ち位置で行動されるのがよいように思います。誰もいらっしゃらない場合には，債権者として利害関係を有する大家さんが動くべきです。

なお，参考までに，相続放棄に際して，「相続財産」を「処分」してしまった場合には，相続を承認したものとみなされてしまい，放棄はできません。
もっとも，被相続人が借家にお住まいの場合，明渡をしなければ負債は増大し，何より大家さんに迷惑を掛けてしまう結果となります。また，資産や負債の状況が判明しなければ相続人は放棄するか承認するかの判断ができないため調査が必要となります。

相続人による調査のための家捜しは禁じられている訳ではなく，また「ごみ」は相続財産ではないため，それを捨てても問題はないでしょう。「ごみ」か「相続財産」かの区別については常識で判断するほかないですが，換価価値があるかどうか（業者が買い取ってくれるようなものか，処分料を払わないといけないものか）が一つの目安になるかと思います。また，差し押さえが可能な財産か否かという観点も参考になろうかと思います。
他方で預貯金や有価証券に関しては額の多寡を問わず相続財産になります。

片付けに際しては，最初に現場の写真や「相続財産」にあたりそうな物の写真を撮って証拠を保全し，「相続財産」は放棄後の次順位の相続人に引き継ぐ，という対応をとるべきです。