孤独死の後始末は誰がするのか

法定相続人不在の甥っ子さんの死後の対応についてのお悩みですね。
まず、前提として、甥っ子さんには法定相続人がおらず、かつ、ある程度の遺産があるわけですね。
既に、葬儀等を行っておられるため、葬儀等の契約者はご自身でしょうから、支払義務はご自身にあります。
そのため、今後の法事も同様、やるからにはご自身が負担するだけとなります。
というのも、別に葬儀も法要も、法律上必要ではないためです。
ここで、火葬等最低限のものは必要だということはそのとおりですが、これについては、本来、ご自身が負担をすることを前提に葬儀の契約などをする前であれば、市役所が税金で負担してくれました。ですが、すでに市役所はご自身に丸投げしたあとですから、これも難しいように思います。
（一度確認してみるのもいいですが、またたらい回しにされるのが目に見えています。市役所は重要なことは言いません。）

さて、ご自身の負担ということはご理解いただけたと思いますが、このあと、事後的にも回収や補てんがされないかということに話を進めますと、現実的には期待できません。
そもそも、負担をしない対応をすべきでした。
例外的にあるとすれば、甥っ子さんの財産について利害関係人として相続財産清算人の選任を家庭裁判所に求め、ご自身の支出を特別縁故者として支払ってもらうというような方法も考えられますが、かなり大変な手続きとなります。もし、検討するのであれば、地元の、相続財産清算人関係の経験がある弁護士に相談してみると良いと思います。