いただいたご質問だと,あなたがどうしたいのかという希望の内容が不明なのですが,お相手の方との関係に悩んでおられるようですので,
⑴ 夫婦関係調整調停(内縁関係の解消を目的とする調停)を申し立てて,家庭裁判所において,調停委員という第三者を交えて,お相手の方と話し合って,関係を終了させる。ご希望によって,財産分与を行い,また,慰謝料を請求する。
または,
⑵ 夫婦関係「円満」調整調停(内縁関係を修復することを目的とする調停)を申し立て,どのようにしたらやり直せるかを話し合う。
といった方法があり得るのではないかと思います。
また,同居中にお相手の方と生活費を分担していた場合は,「婚姻費用分担調停」を申し立て,犬にかかる費用や家賃などを含めた生活費の請求も可能なように思います。
いずれにしても,14年間同居していたのにLINE1本で出て行く相手と二人で話し合うことは困難だと思われますので,家庭裁判所における話し合いの方がよいのではないかと思います。