遺言書が放置されたまま受遺者が亡くなった場合

ご相談のように、遺言が長期間執行されないまま受遺者が死亡した場合の取扱いについては、一般論としては、以下のとおり整理されるかと思います。

＞遺言者の死亡により遺言の効力が生じた後で、遺言の執行をせずに放置したまま受遺者が死亡した場合はどうなるのでしょうか？遺言が無効になるのか？
＞遺言には一般債権のような時効があるのか？それとも、遺言が有効な限りは、受遺者の相続人にその権利が引き継がれるのか？

遺言は遺言者（本件ではお祖母さま）の死亡時に効力が生じており、その時点で遺贈は有効に成立します（特定の不動産の遺贈であれば、一般に、所有権は遺言者の死亡時に受遺者に移転すると解されています）。
その後、遺言の執行手続（たとえば所有権移転登記など）が長期間行われなかったとしても、そのことを直接の理由として遺言の効力が無効になることは通常ありません（一般債権のような消滅時効の制度はありません）。

そして、受遺者がその後に死亡した場合には、受遺者が取得した権利・地位は、その相続人に承継されます。

＞もし、受遺者の相続人に遺言書の権利が引き継がれるなら、たとえ遺言自体が執行されていなくても、もはや相続人としての責任はなくなるのでしょうか？（例えば、相続登記の義務や固定資産税の支払い等）

この点については、責任がなくなるわけではありません。

まず、遺言者の相続人は、遺贈を実現するための手続（登記への協力など）を行う義務を負います。

また、固定資産税については、登記名義が遺言者のままである場合には、市役所等との関係では、遺言者の法定相続人が納税義務者として扱われる可能性が高いです。
もっとも、実質的には受遺者（現在はその相続人）が不動産を所有する状態にありますので、遺言者の相続人が負担した税金については、受遺者の相続人に対して精算（求償）を求める余地があります。

本件は、遺言の未執行期間が長期に及んでいることから、権利関係が複雑化している可能性があります。
具体的な事情によって適切な進め方が変わることも十分に考えられますので、一度、資料一式をもとに専門家へご相談のうえ、整理・対応されることをおすすめいたします。