1.不倫関係の相手方に、その人の子であると認めさせるためには、DNA鑑定などをして、まずはその男性の子であることを確定させる必要があります。ただ問題なのは、現在、夫と婚姻関係にありながら別の男性との間に子どもができた場合には、その子の父親は夫である、と法律上は推定されることです。そうだとすると、あなたの夫からの嫡出否認の調停等が起こされないと、その子は夫の子であるままということになることです(そもそも認知ができない。)。
不倫相手に対する慰謝料の請求についてですが、男性側が未婚だと嘘をついていたような場合には貞操権侵害で慰謝料請求可能かと思われます。お住いの都道府県を選ぶ