お困りとのことでご回答させていただきます。
相手方が引っ越しを繰り返しているとしても、住民票を通じて現住所が特定できるのであれば、強制執行は可能かと思われます。
差押に基づいて養育費分を支払わせたいところですが、それも相手の居所が分からなければ手続を進めることができません。
弁護士に依頼することが前提となりますが,弁護士であれば,⑴支払義務者(元配偶者)の住民票上の住所,⑵携帯電話番号が変更されていなければ,携帯電話業者に登録がある支払義務者の住所を調べることは可能です。お住いの都道府県を選ぶ