
>認知の事、養育費の事、面会交流の事、求償権の事で私も弁護士の先生に委任をし全部まとめて相手の弁護士と話し合ってくれたりはするのでしょうか?
→可能です。
認知は、胎児認知の場合には子の母の同意が、子が成人した場合は子本人の同意が必要ですが、それ以外なら相談者の意思だけでできます。
相談者が養育費の支払いを拒み、相手が調停・審判で養育費を求めても、やはり認知の有無は問題になります。認知し、法的な親子関係を築くことが養育費や面会交流の根拠となるからです。弁護士をつけてまで相手がなぜ認知を急に嫌がりだしたのかは、何とも分かりません。
相談者が疑念を抱かれるならDNA鑑定を求めてみることもありえるかもしれません。
求償権のこと、弁護士に依頼するかどうかも含め、まずは直接弁護士に相談されてみるのが良いでしょう。