
あなた自身が元夫の住所を調べて,請求書を出すということもできなくはないでしょうが,現実的には,弁護士に,元夫に対して未払養育費の支払いを請求することを依頼して,現在の元夫の住所を調べてもらって,過去10年分遡って請求する,というのがよいでしょう。
もっとも,お子さん2人に対し月額1万円の養育費すら支払わない男が,たとえ弁護士から請求があったとしても素直に支払うとは思えません。裁判をしても,回収できるかどうかは不明です。
勤務先を調べられたとしても,元夫が勤務先をやめてしまえば給与差押えも空振りになります。
要は,弁護士に依頼して請求したとしても費用倒れになる可能性があるということです。
それでもどうしても支払わせたいというのであれば,弁護士に依頼することをお勧めします。