たとえ公正証書で養育費について18歳までと定まっていたとしても、お子さんが大学に進学することを希望し、18歳の時点で収入を得られる見込みがない場合には、少なくとも20歳までは養育費を請求できると考えます。
大学を卒業する22歳までの養育費を請求できるかは、親の学歴、経済状況等によって判断されます。
これまでも未払いがあるようですし、相手が養育費の支払いについてなかなか応じてくれない場合には、養育費分担調停を提起し、場合によっては、給与差し押さえ等の強制執行を検討してもよいかもしれません。
なお、調停を提起しなくても、これまでの未払い分について強制執行を行うことは可能です。
相手の勤務先を知らない場合、勤務先の調査や財産調査が必要になりますので、一定のハードルがありますが、民事執行法が改正され、以前よりは財産の調査等がしやすくなりましたので、詳しくは弁護士にご相談ください。