こんにちは。
弁護士の中間と申します。
質問内容の記載を見る限り、不貞の立証は十分可能と考えます。不貞相手の住所・電話番号も特定できているとのことなので、慰謝料請求は可能でしょう。
ただ、不貞の有無は親権者の判断と直接的な影響はありません。今までの家事育児の役割分担といった子供の監護実績、単独での監護ができるかどうかといった監護能力・監護環境などを奥様と比較して、実際のところどうか、ということを考えてみる必要があります。
冷静に話ができれば、相手と直接接触して協議し誓約書を交わすことも可能かと思いますが、感情的になってしまう、攻撃的な態度をとってしまう恐れがある場合は、弁護士に依頼して慰謝料を請求し、交渉の中で関係解消の合意を得るように進めるとよいでしょう。