調停調書があるなら、それをもとに執行してしまえばいいと思います。
時効は、発生してから起算ですから、直近2年分のものが時効になっているとは考えにくいです。
とはいえ一般論ですし、相手の弁護士が払わないと主張している理由も明らかではないので、一度その相手からの回答を持参のうえ弁護士に相談したほうがいいように思います。
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